勿以挚爱的名义伤害,莫用开发
说出来你可能都不相信,
初中阶段的孩子,就已经具备解决大学级别难题的能力
这句话的意思不是让小学生直接跳过中学、直接学习大学的知识,而是说初中阶段的学生已经具备巨大的潜力,这种潜力很可能远远超过学生、父母和老师的预期和判断,我们只有用正确的方式去开发,才能让孩子的潜能最大限度地展现出来。
下面以事实来证明我的观点。
某乎上热评的一道题:
桶水,其中一桶有毒,猪喝毒水后会在15分钟内死去,用15分钟找到这桶毒水,至少需要几头猪?
(假设一滴毒水就可以毒死一头猪;只要猪喝了毒水,一定会在15分钟内死亡,但不能确定具体是几分几秒;每头猪都可以无限喝水,喝水用时为零,即猪可以瞬间喝完你要求它喝的水)
这道题很难,乍看之下,也无从下手。
这不是一道中学题,我觉得至少有一半的大学本科生既不学相关知识、也不会遇到这类问题,他们很可能无从下手,说它难很正常。
不过也可以说它很简单,因为学过或理解这类题的人,可以在几分钟之内给出答案;而第一次见到这类题的人,也可以仅用初中知识推理得到结果,需要的只是耐心和稍微长一点儿的时间。
如何只用初中知识解决这个问题呢?
既然没有专业知识,那就不可能一下子找到最终结果,所以我们需要逐步分析。
首先,每个人最容易找到、也最好理解的方法,就是用头猪,每头猪只喝一个桶里的水,哪头猪死了,哪个桶里的水就有毒;
具体一点儿,就是给猪编号~,给桶编号~,然后把猪和桶按照如下排列:
每头猪都喝对应编号的桶里的水,死的猪编号是多少,对应编号的桶里的水就有毒;这种情况下,对猪和水桶编号,其实是多余的,但是把复杂的问题条理化,更有利于深入分析;
很明显,不是最少需要的猪数量,我们起码可以拿掉编号的猪,如果其它猪喝完水都活着,那么就能确定编号为的桶里的水有毒;
虽然我们没有找到答案,但是可以总结出以下规律:用一头猪检验一桶水,一一对应,与我们学过的数轴很相似,因为数轴上的点与实数一一对应;
初中学完数轴之后,学生就会接触到平面坐标系,这样就比较容易让学生联想到:如果把桶排成一个面(把每个桶看作一个点),应该会比排成一条线更省猪,猜想对不对,验证一下就知道了。
先把桶排成10行列的样子如下:
学过平面坐标系的同学都知道,平面上的点都可以用一组有序数对(x,y)唯一表示出来,将桶水排成一个平面,就不再需要一头猪喝一桶水那样去检验,而是一头猪喝一排(或一列)桶里的水,如下
如果所有猪都没死,就是的桶里的水有毒(所有的猪都不喝桶中的水)
如果只有编号(01)的猪死了,那么桶里的水有毒;
如果只有编号为六的猪死了,那么桶里的水有毒;(除号桶外,上边第一行和左边第一列桶里的水分别只有一只猪喝)
如果编号为(04)和二的两头猪死了,那么就能断定编号为的桶里的水有毒;(剩下的每桶水都分别有两头猪喝)
这样我们成功将猪的数量从头降低到99+9=头;
这也不是最终的答案,因为我们知道:
面积相等的矩形中,正方形的周长最小;
两个正数a、b,当ab是定值时,
当且仅当a=b时,等号成立;
所以将桶水排成边长为32的正方形时用猪最少,共需要31+31=62头;
如果猪都没死,则有毒;
如果只有编号(04)的猪死了,则有毒;如果只有编号(二)的猪死了,则(=2×32)有毒;如果编号(04)和(二)的猪死了,则(=2×32+4)有毒;
这样又成功将猪的数量从头减少到2×(32-1)=62头;此时最多可以检测(32的平方)桶水;
同样我们很容易想到和理解,如果把猪排成正方体的形状要比排成正方形更省猪(为了方便观察,只标出了坐标面上的猪的编号)
如果所有的猪都没死,则有毒(所有的猪都不喝中的水)
如果只有编号为3的猪死了,则有毒;如果只有编号为三的猪死了,则有毒;如果只有编号为叁的猪死了,则有毒;(坐标轴上的水分别只有一头猪喝)以此类推,不管毒水桶的编号是多少,我们都可以根据猪的死亡组合,准确找到有毒的水;
这样,我们就成功将猪的数量减少到9+九+玖=27头,最多可检测桶水(10的立方)
中学不学习四维及以上的知识,不过我们可以简单推理一下:四维及以上的图虽然画不出来,不过我们可以假设能把猪排成四维的样子,那么根据前面的经验,排出的形状每一维上的边长一定相等,也就是
的形式,最小的正整数a是6,需要的猪数量是4×(6-1)=20;
依次增加维度数,分析结果如下表:
无论将水桶排成几维的图形,每边至少要有两头猪,否则将变成最开始的数轴,这样我们就通过纯理论推导的方法找到了最少的用猪量量—10头;
但是存在一个问题,中学生无法想象十维的图形长什么样(我也想不出来),因此就不能像一维、二维、三维那样根据猪的情况准确找到有毒的水。
但是上边的逻辑推理应该是正确的,虽然推导过程中,随着维度的增加,猪的数量有增加的情况,比如从五维到六维,从七维到八维再到九维,猪的数量都是增加的,不过如果你看猪的计算式会发现,之所以数量增加,是因为排列的边长没有变,而维度数增加了,这会导致最大可检测数量增加,但不会减小检测桶水时需要的猪的数量;只要排列的边长减少,需要的猪数量还是减少的;
我们虽然不能确定三维的情况是不是最终结果,但可以确定其是可行的;而上边的推理虽然找不出破绽,但无法画出排列图形,不知道如何确定有毒水的桶,既不能确定是不是最终结果,也不能确定是否可行。推理过程上涉及到的高维,也可能会使不少同学暂时无法理解;
那么我们再回头观察一二三维的情况,会发现:用猪数量的减少,根本原因是每头猪喝的水多了
一维时一头猪只喝一个桶里的水;
二维时一头猪要喝32个桶里的水;
三维时一头猪要喝个桶里的水;
如果要减少猪的数量,就要想办法让每头猪喝更多个桶里的水!
一维时,一头猪只需要判断一桶水里的情况;
二维时,一头猪需要判断32桶水的情况,再分析下去,就是用一头猪来判断一行或一列的情况;而一行或一列都分别有32种情况,所以分别需要31头猪;从桶的排列图上可以看出其规律:每逢32进1(即换行,每行只能排32个),
同理,三维时,一头猪需要判断桶水的情况,也就是要用一头猪去判断一个面的情况,分别与每个坐标平面平行的平面各有10个,所以分别需要9头猪;从桶的排列图上可以看出其规律:每逢十进一(换行或向上升一层,每条线上只能排10个)
生活中我们有过这样的经验:
1只鞋+1只鞋=1双鞋逢二进一二进制
6天+1天=1周逢七进一七进制
11个月+1个月=1年逢12进一12进制
23时+1时=1天逢24进一24进制
30天+1天=1月逢31进一31进制
59分+1分=1小时逢60进一60进制
天+1天=1年逢进一进制
还有很多这样的情况,对应不同的进制,现在使用比较广泛的进制有十进制、八进制、二进制和十六进制
十进制中,9+1=10,逢十进一,每一位上都有十种情况(最高位有九种情况),分别用10个一位数0-9表示;
八进制中,7+1=10,逢八进一,每一位上都有八种情况(最高位有七种),所以用十进制中的前八个一位数0-7表示;
二进制中,1+1=10,逢二进一,每一位上只有0和1两种情况(最高位只能是1)所以用十进制中的前两个一位数0和1表示;
而在十六进制中,应该是逢十六进一,即15+1=10,但这明显有一个矛盾,15中的1是表示十进制中的10,还是十六进制中的16呢?
没有标明的情况下,同一个等式中等号两边的进制默认相同,否则很容易引起混乱。
我们常用的十进制中,只有十个数,不可能表示出来十六种情况,那么就需要在用完0-9的基础上,增加新的“数字”,目前通行的法则是用大写英文字母A、B、C、D、E、F分别表示十六进制中的10、11、12、13、14、15,即在十六进制中,9+1=A,A+1=B,B+1=C,C+1=D,D+1=F,F+1=10,1F转换成十进制就是31;
电脑蓝屏时出现的数字+字母的串,其实就是十六进制的数,正因为十六进制的使用非常广泛,所以制订了专门了书写规则,而像24进制、30进制、进制之类的,只应用于某些特定的情况,使用范围小、频率低,如果制订专门的书写方法,反而弄巧成拙,变得更麻烦;
就像学习,很多所谓的“技巧”并不需要专门去记和背,只要理解了,掌握了,就可以忘记了。
理解了上边的进制问题,那么再看前边的分析,
二维情况下是32进制,将水桶用32进制编码,每一位上有32种情况,所以分别需要31头猪去判断毒水桶编号每一位上的数是几;假设V表示32进制中的31,那么转化成32进制就是一个两位数V7,31×32+7=每一位上都有32种情况,所以分别需要31头猪去判断;
从二维到三维,使用猪的数量减少,是因为进制由32减小到10,是个三位数,每一位上有10种情况,所以分别需要9头猪去判断毒水桶编号每一位上的数是几;
这样,我们就不需要考虑维度的问题,只需要减小进制就可以了,最小的进制就是二,逢二进一,然后按照这个规律将水桶进行编号
十进制中,=9×+9×10+9=9×+9×10+9=9×-1+9×-1+9×-1
7=4+2+1=1×23-1+1×22-1+1×21-1,所以十进制中的7在二进制中是个三位数,
同理,十进制中的
=+++64+32+4+2+1
=1×-1+1×29-1+1×28-1+1×27-1+1×26-1+0×25-1+0×24-1+1×23-1+1×22-1+1×21-1
在二进制中是个十位数1,每一位上只有两种情况,各需要一头猪去判断,所以需要十头猪。具体方法如下:
先将个水桶按二进制编码,然后第一头猪只喝编号第一位(从右向左数,下同)是1的桶里的水(编号是零的桶里的水不用喝,前边二维和三维的情况也是如此),第二头猪只喝编号第二位是1的桶里的水,第三头猪只喝编号第三位为1的桶里的水,……,第十头猪只喝编号第十位为1的桶里的水
如上图所示(这个图填起来很有意思,有兴趣的朋友可以自己填一下),
如果没有猪死亡,则编号为0的桶有毒(没有猪喝这个桶里的水);
如果只有第十头猪死亡,则有毒水桶的二进制编码为,十进制编码为1×-1=;
如果第三、第六头猪死亡,则有毒水桶的二进制编码为,十进制编码为1×26-1+1×23-1=36,
如果第三、六、九头猪死亡,则有毒水桶的二进制编码为,十进制编码为1×29-1+1×26-1+1×23-1=,
……
如果十头猪全部死亡,则有毒水桶的二进制编码为1,十进制编码为3,这是还不可能的,因为桶的编码最大是,也就是说在这个问题中,十头猪中最多可能会死九头,而十头猪最多可以检测桶水;
最后总结(一)前面推论的十维的情况,由于无法做出实际的排列,所以无法确定毒水桶的编号;而二进制编码的方法成功地解决了这个问题,同时证明了十头猪可以成功检验出毒水,但不能确定十头猪是不是最少的用量,不过前面十维的理论推导和减小进制的推导方法,虽然不严谨,但可以让我们确定这就是最终答案(中学生不需要知道完整的证明过程,只有大学本科数学专业的人才可能会学习)。
所以,失败是有用的,失败也并不可怕,害怕失败才是最可怕的。
(二)二进制编码并没有用到坐标系,说明同样的问题,可以有不同的思考方法(与能否解决问题无关);
而不管是平面坐标系还是三维坐标系,包括我们学到的所有知识,都是为了解决问题服务的,它们都是工具,需要时就用,不需要时就可以不用,而不是学过就一定要用;
平面坐标系、三维坐标系应用广泛,能大大简化解题过程,所以我们把它们总结成规律然后进行系统地学习;
二进制、八进制、十六进制应用也很广泛,所以我们也将它们规律化并进行系统的学习,而十进制是我们使用最多的进制,用十进制中的数字表示二进制和八进制的数字绰绰有余,因此不需要引入新的表示方法;而十进制中的数字不足以表示十六进制,所以我们引入了字母,这样规则最简洁、最易学易用;像其它使用极少的进制,不需要制定专门的书写规则。(三)一维时一头猪喝一个桶里的水;二维时每头猪要喝32个桶中的水(检测最多数量桶时);三维是每头猪要喝个桶中的水;每头猪喝的水越多,使用的猪数量越少;二进制编码虽然没有用到坐标系,但每头猪要喝个桶里的水(检测最多数量桶时),与前面总结的规律保持一致;
(四)上边的过程,只要你真的理解了,就可以忘记了,因为没有用到新的什么新奇的方法,也没有用新的知识点,就算是没学过二进制的学生,也是很熟悉30进制、进制等(只是我们平时不说它们是“X进制”),而用到的二进制,是我们一步一步推理出来的,不是先学会二进制然后再拿来用的。
如果早生三百年,你也可以发现并定义二进制;之所以你没能提出二进制,只不过是因为你出生晚了而已;十进制与其它进制的转换方法,已经包含在了十进制里,也不需要特别去记;
十年或二十年之后再次遇到这类题,你依然可以按照上面的方法推理出结果,可能需要思考一下,但所用的时间一定比你今天学习所用的时间短。
如果你只是机械地背下来,一年之后可能就全忘完了,再遇到这个题,依然会如刚看到这道题时一样,一脸茫然,不知所措。
记住不等于学会。
只会背结论、套模板的解题,那是在制造解题机器,算不得学习。做过的题不保证全对,没见过的题基本全错,这算哪门子学习呢?
社会飞速发展,科技日新月异,生活中有多少困难和问题是前所未有的?工作中又有多少难题有成法可依?如果你是老板,你会喜欢一个遇到新问题就束手无策的员工吗?
如果一个设计师没有创新能力,只会仿照别人的东西,Ta的作品你敢用吗?现在是产权社会,模仿盗用是犯法的,坐牢与破产都是可能的!
能灵活运用才叫学会
要能用已知的知识解决未知的问题
要能在已有的知识大厦上添砖加瓦。
真正的学习,不需要刻意地死记硬背,而真正需要记忆的东西很少,学习得越多,可以忘记得就应该越多。
——by琢梦牛哥温故知新,学以致用。
当然,我们不可能真的去要求一个中学生,一定要解决类似上面的问题,但我们
必须让Ta们意识到:无论Ta是否学过,Ta都有能力去解决更多的问题,就算不能完全解决,也至少能解决一部分,
至少能在前人的基础上再往前走两步,起码不至于束手无策,哪怕想出了一个新的行不通的方法,也是一种进步,就像爱迪生用次失败验证出种不能做灯丝的材料一样。
请不要觉得这是一个特例,学习可以有老师教,课外可以请家教,但当孩子走上社会后,工作还是要自己做,日子早晚也得自己过,很可能没有经验可以学,更不可能有生活模板让你去套,学校学习的最终目的,还是为了让你学会去解决工作和生活中那些突如其来、莫名其妙的问题的,不是让你去背那些所谓“技巧”的,好好琢磨一下《论语》中的这句话:
“取乎其下,无所得矣!”无论是学校老师,还是课外辅导老师,都只是辅助,不是靠山,不能对他们产生依赖。
只有学会了学习,才能真正体会到学习的乐趣,哪里还可能会出现“厌学”?
学会了学习,掌握了这样的思路,哪怕离开学校,自学也能成才;走上社会无论是什么岗位,也都会是一个强者!
只有不会学习的孩子才会被放到补习机构“全托”,没有哪个状元会离开学校就泡在补习机构里的!
学会学习,提高了效率,节约的补习钱最不值一提,重要的是时间,可以用来开发培养更多的兴趣爱好、做更专业的深入学习,这是一个良性循环,更大的好外,自己想吧!
有多少挚爱,是披着“爱”的外衣的“真实伤害”?
有多少“开发潜能”,是打着“开发”的幌子在将潜能往更深处“埋葬”?
愿天下父母都能擦亮双眼,为子女付出真正的爱,
愿每个孩子都被温柔相待!
最后非专业地解释一下十六进制为什么使用广泛:
十进制中的四位数3,二进制表示则是十位数1,十六进制表示是三位数3FF,如果用32进制表示就是两位数VV(假设V表示32进制中的31);即同样大小的数,进制越大,位数越少;电脑中的数据本质上都是以二进制数存储的,因为电流只有通和断两种状态(相当于开关),如果“通”是“1”,那么“断”就是“0”,不存在第三种状态,所以目前的电脑只能用二进制存储数据;但是二进制的位数太长,需要的开关就非常多,如果转换成十进制存储,位数会减少,但也会导致数据失真(很多数不能在十进制和二进制之间进行完全相等的变换),因为只能用4、8、16、32等2的幂次进制,才能保证数据不失真,十六进制只需要在0-9之外增加六个字母,非常好记,如果是32位就需要新增22个“数字”,记忆和转化都比较麻烦,所以电脑选择十六进制存储信息(科技发展具有偶然性,如果当初选择增加22个“数字”使用32进制,那么现在就会系统地学习32进制,不会改变其后的科技发展进程)。
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