一元一次方程的应用等积变形和差倍分

前面，我们已经讲了一元一次方程的应用——行程问题初中数学——一元一次方程应用之比例、分配与工程问题一元一次方程的应用——储蓄与利润问题

今天我们将讲一元一次方程的应用——等积变形、和差倍分、数位问题及新题型问题。

一、知识储备

1.等积变形问题：

（1）长方体体积公式：长×宽×高

（2）正方体体积公式：边长×边长×边长

（3）圆柱体体体积公式：πr^2h（h:高，r:底面半径）

（4）等量关系：变形前后体积相等

2.和、差、倍、分问题

和、差、倍、分问题中常有以下等量关系：

增长量=原有量×增长率

现有量=原有量+增长量

现有量=原有量-降低量

3.数字问题

设a、b分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为10b+a.

4.新型问题

二、问题探究

1等积变形问题

例1.把一个长、宽、高分别为8cm、7cm、6cm的长方体铁块和棱长为5cm的正方体铁块熔铸成一个直径为20cm的圆柱体。求这个圆柱体的高？

分析：等量关系是：长方体铁块体积+正方体铁块体积=圆柱体体积

解：设圆柱体的高为h,则

8×7×6+5×5×5=π（20/2）^2h

解得：h=1.47cm

例2.在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80平方厘米和平方厘米，且甲容器装满水，乙容器内部是空的。若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm。求甲的容积。

分析：等量关系是：水的体积未变

解：设甲中水的高度为xcm，乙中水的高度为x-8cm,则：

80x=(x-8)

解得：x=40cm

所以甲的容积为：40×80=立方厘米

2.和、差、倍、分问题

例1.为支持亚太地区国家基础设施建设，有中国倡议设立亚投行，截止年4月15日，亚投行意向创始成员国确定为57个，其中意向创始成员国数亚洲是欧洲的2倍少2个，其余洲共5个，求亚洲和欧洲的意向创始成员国各有多少个？

分析：若设欧洲意向创始成员国有x个，那么亚洲意向创始成员国就有2x-2个。

解：设欧洲意向创始成员国有x个，亚洲意向创始成员国就有（2x-2）个。由题意：

2x-2+x+5=57

解得：x=18

所以亚洲意向创始成员国有：2×18-2=34个。

3.数位问题

例1.一个两位数，十位数字比个位数字的2倍，将个位数字与十位数字交换位置后得到的新数比原数小27，则原来这个两位数是多少？

分析：设原来这个两位数个位数字为x,则十位数字为2x，则这个两位数是：20x+x,由题意列方程。

解：设个位数字为x,则十位数字为2x,则

20x+x=10x+2x+27

解得：x=3

所以原来这个两位数是20x+x=63.

5.新型应用问题

例1.某足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队踢14场球负5场共得19分，则这个队胜了几场？

解：设这个队胜了x场，负5场，那么平了(14-5-x)场。则：

3x+14-5-x=19

解得：x=5场

例2.毕业在即，九年级某班为纪念师生情谊，决定花元购买两种单价不同的纪念册，分别送给50位同学和10名教师，其中送给教师的比送给学生的单价多了8元。请问，这两种不同的纪念册单机分别为多少元？

解：设送给学生的纪念册单价为x元，则送给老师的纪念册单价为（x+8）元，则：

50x+10(x+8)=

解得：x=12元

所以送给学生的纪念册单价为12元，

则送给老师的纪念册单价为20元。

练习

1.将半径为20cm的圆柱形水桶里的水倒进另一个小的圆柱形水桶里，直到倒满为止，已知小圆柱底面半径为10cm，高是15cm。当小水桶倒满时，大水桶的水面下降了多少？

2.在一个底面直径为5cm、高为18cm的圆柱形塑料瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径为6cm、高为10cm的圆柱形玻璃中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水还剩多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离。

3.某幼儿园组织亲子游活动，报名的人数共有69人，其中成人的人数比儿童的人数的2倍少3人，则成人和儿童各有多少人？

4.一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将个位数字与十位数字调换，得到一个新的两位数，这两个两位数的和是，求原来这个两位数。

5.某道路一侧原有路灯盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换新型节能灯，且相邻两盏灯的距离为70米，则新更换的节能灯有多少盏？

6.某班50名学生参加物理、化学实验检测，物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人？

7.公园门票规定如下表

某校七（1）、七（2）两个班共人去公园，其中由于1班人数较少，不足50人，经估算两个班都以班为单位购票，则一共应付元，问：

（1）两个班各有多少名学生？

（2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？

（3）如果七（1）班单独组织游公园，作为组织者，你将如何购票才最省钱？

答案

解：设当小水桶倒满时，大水桶的水面下降了xcm,则：π×10^2×15=π×20^2×x解得：x=1.cm

2.分析：（1）圆柱形塑料瓶的体积：π×(5/2)^2×18=.5π

（2）圆柱形玻璃瓶的体积：π×(6/2)^2×10=90π

（3）两种瓶子的容积的大小关系：圆柱形塑料瓶的体积圆柱形玻璃瓶的体积所以装不下。

解：设装不下，那么瓶内水还剩下水高为xcm,则：

π×(5/2)^2×18-π×(6/2)^2×10=π×(5/2)^2×x

解得：x=3.8cm

3.解：设儿童人数为x人，则成人人数为(2x-3)人，则：

x+2x-3=69

解得：x=24人，

所以成人为：24×2-3=45人

4.解：设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为2x,则这个两位数为20x+x;将个位数字与十位数字调换，得到一个新的两位数为10x+2x,则：

20x+x+10x+2x=

解得：x=4

所以这个原两位数为：84.

5.分析：更换路灯前后马路的长度不变。马路长度为等的盏数-1与间隔的乘积。

解：设需节能灯x盏，则：

（-1）×36=（x-1）×70

解得：x=55盏

6.分析：设两种实验都对的有x人,那么只对物理的有（40-x）人，只对化学的有（31-x）人。根据题意列方程。

解：设两种实验都做对的有x人,则：

40-x+31-x+x+4=50

解得：x=25人

7.解：（1）设七（1）班有x人，则七（2）班有(-x)人，因为七（1）班人数不足5人，所以由题意有：

13x+11(-x)=

解得：x=48人

则2班有-48=56人，

（2）两个班一起团购可节约：-×9=元。

（3）如果七（1）班单独组织游公园，作为组织者，我会购票51张票，因为：

购买48张需：48×13=元

购买51张需：51×11=元

所以购买51张票更划算。

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